Question

在△ABC中，周長為7.5cm，且sinA：sinB：sinC=4：5：6，下列結論：
①a：b：c=4：5：6
②a：b：c=2：

5

：

6

③a=2cm，b=2.5cm，c=3cm
④A：B：C=4：5：6
其中成立的個數是

2

．

Answer 1

分析：根據正弦定理和余弦定理分別進行判斷即可．

解答：解：∵sinA：sinB：sinC=4：5：6，
∴根據正弦定理可知邊a：b：c=4：5：6，
設a=4x，x＞0，則y=5x，z=6x．
又三角形的周長為7.5，
∴a+b+c=4x+5x+6x=15x=7.5，
解得x=0.5，
∴a=4x=2，y=5x=2.5，z=6x=3．
∴①正確，②錯誤，③正確．
若A：B：C=4：5：6成立，則A=48°，B=60°，C=72°，
此時cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

16x2+36x2-25x2

2×4x•6x

=

9

16

≠

1

2

，
∴A：B：C=4：5：6不成立．
故成立的是①③．
故答案為：2．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，要求熟練掌握正弦定理和余弦定理的內容及應用．