Question

某隧道長2150m，通過隧道的車速不能超過20m/s．一列有55輛車身長都為10m的同一車型的車隊（這種型號的車能行駛的最高速為40m/s）勻速通過該隧道，設車隊的速度為xm/s，根據安全和車流的需要，當0＜x≤10時，相鄰兩車之間保持20m的距離；當10＜x≤20時，相鄰兩車之間保持(

1

6

x2+

1

3

x)m的距離．自第1輛車車頭進入隧道至第55輛車尾離開隧道所用的時間為y（s）．
（1）將y表示為x的函數；
（2）求車隊通過隧道時間y的最小值及此時車隊的速度．(

3

≈1.73)

Answer 1

分析：（1）由題目條件，利用對x進行分類討論，求出離開隧道所用的時間為y；
（2）分別求分段函數中上下兩個函數式子的最小值，綜合它們中的較小者，即可得原函數的最小值，從而車隊通過隧道時間y有最小值．

解答：解：（1）當0＜x≤10時，y=

2150+10×55+20×(55-1)

x

=

3780

x

，
當10＜x≤20時，y=

2150+10×55+( 1 6 x2+ 1 3 x)×(55-1)

x

=

2700

x

+9x+18，
所以，y=

3780 x (0＜x≤10) 2700 x +9x+18(10＜x≤20)

，
（2）當x∈（0，10]時，在x=10時，ymin=

3780

10

=378(s)，
當x∈（10，20]時，y=

2700

x

+9x+18≥18+2×

9x• 2700 x

=18+180

3

≈329.4（s），
當且僅當9x=

2700

x

，即：x≈17.3（m/s）時取等號．
因為17.3∈（10，20]，所以當x=17.3（m/s）時，y_min=329.4（s），
而378＞329.4，
所以，當車隊的速度為17.3（m/s）時，車隊通過隧道時間y有最小值329.4（s）．

點評：本題主要考查函數在實際生活中的應用、分段函數的表示法、分段函數最值的求法．