Question

【題目】設數列{an}為等比數列，數列{bn}滿足bn=na1+（n﹣1）a2+…+2an﹣1+an ， n∈N* ， 已知b1=m， ，其中m≠0．
（1）求數列{an}的首項和公比；
（2）當m=1時，求bn；
（3）設Sn為數列{an}的前n項和，若對于任意的正整數n，都有Sn∈[1，3]，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知b1=a1，

所以a1=m

b2=2a1+a2，

所以 ，

解得 ，

所以數列{an}的公比 ．

（2）解：當m=1時， ，

bn=na1+（n﹣1）a2++2an﹣1+an①，

②，

②﹣①得

所以 ，

（3）解：

因為 ，

所以，由Sn∈[1，3]得

，

注意到，當n為奇數時 ，

當n為偶數時 ，

所以 最大值為 ，最小值為 ．

對于任意的正整數n都有 ，

所以 ，2≤m≤3．

即所求實數m的取值范圍是{m|2≤m≤3}．

【解析】（1）由已知中數列{an}為等比數列，我們只要根據bn=na1+（n﹣1）a2+…+2an﹣1+an ， n∈N* ， 已知b1=m， ，求出a1 ， a2然后根據公比的定義，即可求出數列{an}的首項和公比．（2）當m=1時，結合（1）的結論，我們不難給出數列{an}的通項公式，并由bn=na1+（n﹣1）a2+…+2an﹣1+an ， n∈N*給出bn的表達式，利用錯位相消法，我們可以對其進行化簡，并求出bn；（3）由Sn為數列{an}的前n項和，及（1）的結論，我們可以給出Sn的表達式，再由Sn∈[1，3]，我們可以構造一個關于m的不等式，解不等式，即可得到實數m的取值范圍．在解答過程中要注意對n的分類討論．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的定義和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．