Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，關于的方程有兩個不同的實數解，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時，在單調遞增，在單調遞減；

當時，在單調遞減．（2）證明見解析；

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍求出函數的單調區間即可；

（2）求出函數的導數，通過討論的范圍求出函數的單調區間，結合函數的單調性證明即可．

解：函數的定義域是，

，

①當，即時，在單調遞增，在單調遞減，

②當，即時，在單調遞減．

（2）證明：設，

所以，

當時，，函數在區間上單調遞增；

當時，，函數在區間上單調遞減；

所以在處取得最大值．

當時，方程有兩個不同的實數解，

所以函數的兩個不同的零點，，一個零點比1小，一個零點比1大．

不妨設，

由，且，得，且，

則，所以，

所以，令，，

．，，，

所以，

所以函數在區間上單調遞增，，

所以，

又因為，所以．