Question

已知為公差不為零的等差數列，首項，的部分項、、 、恰為等比數列，且，，.
（1）求數列的通項公式（用表示）；
（2）設數列的前項和為, 求證：（是正整數

Answer 1

（1）   （2）見解析

試題分析：
（1）由題得a₁,a₅,a₁₇是成等比數列的，所以，則可以利用公差d和首項a來表示，進而得到d的值，得到a_n的通項公式.
（2）利用第一問可以求的等比數列、、 、中的前三項，得到該等比數列的通項公式，進而得到的通項公式，再利用分組求和法可得到S_n的表達式，可以發現為不可求和數列，所以需要把放縮成為可求和數列，考慮利用的二項式定理放縮證明，即，故求和即可證明原不等式.
試題解析：
（1）設數列的公差為，
由已知得，，成等比數列，
∴ ，且           2分
得或  
∵ 已知為公差不為零
∴，                               3分
∴.             4分
（2）由（1）知      ∴         5分
而等比數列的公比.
∴                                6分
因此，
∵
∴                       7分
∴                    9分
∵當時，

∴（或用數學歸納法證明此不等式）
∴               11分
∴當時，，不等式成立；
當時，
 
綜上得不等式成立.           14分
法二∵當時，

∴（或用數學歸納法證明此不等式）
∴            11分
∴當時，，不等式成立；
當時，，不等式成立；
當時，
 
綜上得不等式成立.           14分
(法三)　利用二項式定理或數學歸納法可得：
所以，時，，

時，　綜上得不等式成立.