Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，已知AB=3米，AD=2米．
（1）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應在什么范圍內？
（2）當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求最小面積；
（3）若AN的長度不少于6米，則當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求出最小面積．

Answer 1

分析：（1）如圖，由題設令AN=x米，然后用x表示出邊長AM=

3x

x-2

，由題意得出

3x

x-2

×x＞32，從中求出x的范圍，即為AN的取值范圍．
（2）矩形的面積可以表示為SAMPN=

3x2

x-2

=

3(x-2)2+12(x-2)+12

x-2

，化簡后用基本不等式求出最小值．
（3）由（2）的求解知，當AN的長度不少于6米時，基本不等式取到最小值時等號成立的條件不足備，故不宜用基本不等式求矩形AMPN的面積最小值，可以用函數的單調性求面積的最小值．

解答：解：（1）設AN=x米，（x＞2），則ND=x-2
∵

ND

DC

=

AN

AM

∴

x-2

3

=

x

AM

∴AM=

3x

x-2

（2分）
∴

3x

x-2

×x＞32
∴3x²-32x+64＞0（4分）
∴（3x-8）（x-8）＞0
∴2＜x＜

8

3

或x＞8（5分）
（2）SAMPN=

3x2

x-2

=

3(x-2)2+12(x-2)+12

x-2

（7分）
=

3(x-2)2+12(x-2)+12

x-2

=3(x-2)+

12

x-2

+12
≥2

36

+12=24
此時x=4（10分）
（3）∵SAMPN=3(x-2)+

12

x-2

+12（x≥6）
令x-2=t（t≥4），f(t)=3t+

12

t

+12（11分）
∵f′(t)=3-

12

t2

當t≥4時，f'（t）＞0
∴f(t)=3t+

12

t

+12在[4，+∞）上遞增（13分）
∴f（t）_min=f（4）=27
此時x=6．（14分）
答：（1）2＜AN＜

8

3

或AN＞8
（2）當AN的長度是4米時，矩形AMPN的面積最小，最小面積為24平方米；
（3）當AN的長度是6米時，矩形AMPN的面積最小，最小面積為27平方米．（15分）

點評：本題是個應用題，第一問要求根據題設關系列出函數關系式，并求出處變量的取值范圍；第二問考查了基本不等式求最值；第三問問題更深一層，重點考查基本不等式等號成立的條件不足備時，怎么來求相應解析式的最小值，本題考查全面，是少見的知識性與技能性都較強的題．