Question

已知直線l：（a∈R），圓O：x²+y²=4．
（Ⅰ）求證：直線l與圓O相交；
（Ⅱ）判斷直線l被圓O截得的弦何時最短？并求出最短弦的長度；
（Ⅲ）如圖，已知AC、BD為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），求四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）判斷直線恒過定點，證明點在圓的內部，即可得到結論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直線l過定點M，當l⊥OM時，弦長最短；
（Ⅲ）設圓心O到AC、BD的距離為d₁、d₂，垂足分別為E、F，則四邊形OEMF為矩形，則有，表示出AC，BD，可得四邊形ABCD的面積，利用基本不等式，即可求得最大值．
解答：（Ⅰ）證明：直線，所以直線l過定點，
∵，∴在圓C內部，
∴直線l與圓C相交．…3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，直線l過定點M，當l⊥OM時，弦長最短．…4分
∴=，∴
此時，l的方程為，圓心到直線的距離
所以最短弦長：…7分
（Ⅲ）解：設圓心O到AC、BD的距離為d₁、d₂，垂足分別為E、F，則四邊形OEMF為矩形，則有
由平面幾何知識知：，
∴S_{四邊形ABCD}=|AC|•|BD|=≤
=8-=5（當且僅當d₁=d₂取等號）
∴四邊形ABCD的面積的最大值為5．…12分．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查圓中弦長的計算，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．