Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點，連接DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；
（2）若AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，求直角邊BC的長．

Answer 1

分析：（1）連OD，OE，由E是BC邊上的中點，得到OE是△ABC的中位線，則OE∥AC，所以有∠1=∠3，∠2=∠A，而∠A=∠3，因此得到∠1=∠2，再加上OD=OB，OE為公共邊，所以得到△OED≌△OEB，于是∠OED=∠OBE=90°．
（2）首先證明△ABC∽△ADB，得出

AB

AC

=

AD

AB

，根據AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，可得AD=4、AB=6，
從而可求AC的長，由此可求BC的長．

解答：（1）解：DE與半圓O相切
證明：連OD，OE，如圖，
∵E是BC邊上的中點，AB是半圓O的直徑，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3
∴∠1=∠2，
又∵OD=OB，OE為公共邊，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE與半圓O相切．
（2）解：∵AB為直徑
∴∠ADB=∠ABC=90°，∠CAB=∠CAB，
∴△ABC∽△ADB．
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
∵AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根
∴解方程x²-10x+24=0得x₁=4，x₂=6
∵AD＜AB
∴AD=4、AB=6，
∴AC=9，
在直角三角形ABC中，AB=6，AC=9
∴BC=

AC2-AB2

=3

5

．

點評：本題考查的重點是圓的切線的判定方法以及相似三角形的性質與判定，解題的關鍵是利用經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．