Question

【題目】已知函數，，.

（1）當時，若對任意均有成立，求實數的取值范圍；

（2）設直線與曲線和曲線相切，切點分別為，，其中.

①求證：；

②當時，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）依據題意得出，利用導數分別求出函數和在上的最小值和最大值，進而可求得實數的取值范圍；

（2）①由題意可得，可得出，再由可得出結論；

②得到，設，利用導數求出函數的最大值，從而求出的范圍即可．

（1）當時，，由，得，

依題意可得對任意的恒成立，

設，則.

當時，；當時，.

所以，函數在處取得極小值，亦即最小值，即.

設，則.

當時，；當時，.

所以，函數在處取得極大值，亦即最大值，即.

所以，.

因此，實數的取值范圍是；

（2）由已知，.

①，則，

由，得.

.

，，即，所以；

②由①知，且，

由，得，

設，，

所以，函數在為減函數，，

由，，

又，.