Question

【題目】如圖所示將同心圓環均勻分成n()格.在內環中固定數字1~n.問能否將數字1~n填入外環格內，使得外環旋轉任意格后有且僅有一個格中內外環的數字相同？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設對應于內環1，2，…，n的外環數字為i1，i2，…，in，它是數字1，2，…，n的一個排列.對k=1，2，…，n，記外環數字ik在按順時針方向轉動jk格時，和內環數字相同，即

,k=1，2，…，n.

根據題意，j1，j2，…，jn應是0，1，2，…，n-1的排列.求和

.

于是n必須是奇數.

對于奇數n，我們取in=n，im=n-m，(m=1，2，…，n-1)，可以驗證

jn=0, jn-1=2，jn-2=4，…，，

j1=n-2, jn-1=n-4，j3=n-6，…，，

符合題目要求.