Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）,橢圓上的點到焦點的最小距離為且過點P（,1）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點M（3,0）的直線l與橢圓C有兩個不同的交點P和Q,若點P關于x軸的對稱點為P',判斷直線P'Q是否經過定點,如果經過,求出該定點坐標；如果不經過,說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）直線P'Q過x軸上定點．

【解析】

（1）利用已知條件列出方程組,求出a,b即可得到橢圓方程．

（2）分析當斜率為時可知定點若存在則必在x軸上,設定點坐標,再設直線方程與P、Q坐標,聯立直線與橢圓方程,利用韋達定理,結合三點共線則任意兩點的斜率相等列式,進而求出定點坐標即可.

解：（1）由題意,解得,

故橢圓C的方程為．

（2）顯然直線的斜率存在,且當斜率為0時, 直線P'Q為x軸.

故定點若存在則必在x軸上,設定點為.

故設,．

將直線與橢圓的方程聯立得：,

消去,整理得．

由根與系數之間的關系可得：,．

∵點P關于y軸的對稱點為P',則P'（x1,﹣y1）,且三點共線

∴,即.

即,

整理對,代入韋達定理有,即恒成立.解得.

∴直線P'Q過x軸上定點．