Question

如圖,建立平面直角坐標系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發射后的軌跡在方程y=kx-(1+k²)x²(k>0)表示的曲線上,其中k與發射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.

(1)求炮的最大射程;
(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標a不超過多少時,炮彈可以擊中它?請說明理由.

Answer 1

(1)10千米   (2)當a不超過6千米時,可擊中目標

解:(1)令y=0,得kx-(1+k²)x²=0,由實際意義和題設條件知x>0,k>0,
故x==≤=10,當且僅當k=1時取等號.
所以炮的最大射程為10千米.
(2)因為a>0,所以炮彈可擊中目標?存在k>0,使3.2=ka-(1+k²)a²成立?關于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根?判別式Δ=(-20a)²-4a²(a²+64)≥0?a≤6.
所以當a不超過6千米時,可擊中目標.