Question

在△ABC中，已知A（3，-1），∠B的內角平分線BD所在的直線方程是x-3y+6=0，AB邊上的中線CE所在的直線方程是x+y-8=0求：
（1）點B的坐標；      
（2）BC邊所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）設出B的坐標，利用垂直斜率乘積為-1，中點坐標在直線上，聯立解方程組即可得到點B的坐標．
（2）法一：設出點A的對稱點的坐標，利用垂直故選以及平分關系列出方程組，求出A′，利用兩點式方程求出直線方程即可．
法二：利用到角公式求出BC的斜率，利用點斜式方程，即可得出直線方程．

解答：解：（1）設B（a，b）則AB中點坐標為(

a+3

2

，

b-1

2

)，（2分）
且該中點在直線CE上，又點B在直線BD上，
所以

a+3 2 + b-1 2 -8=0 a-3b+6=0

（2分）  
  ⇒

a=9 b=5

，∴B（9，5）（2分）
（2）法一：設點A關于BD：x=3y+6=0的對稱點為A′（a，b）則

a+3 2 -3 b-1 2 +6=0 1 3 • b+1 a-3 =-1

，(2分)，
⇒

a= 3 5 b= 31 5

⇒A/(

3

5

，

31

5

)，(2分)
又A′在BC上，且B（9，5）所以 由兩點式得BC邊方程為x+7y-44=0．（2分）
法二：由BD是角B的內角分線，所以，AB到BD的角等于BD到BC的角．
而KAB=1，KBD=

1

3

所以由到角公式有

1 3 -1

1+ 1 3

=

KBC- 1 3

1+ 1 3 KBC

（2分）
⇒KBC=-

1

7

（2分） 而B（9，5）
所以點斜式得直線方程：x+7y-44=0（2分）

點評：考查學生掌握兩直線垂直時滿足斜率乘積為-1的條件，會求兩直線的交點坐標，以及會根據斜率和一點坐標寫出直線的一般式方程．