Question

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），點(diǎn)A(1，

2

2

)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)B（2，0），設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，求

PF

1•

PB

的取值范圍．

Answer 1

（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)…（1分）
由橢圓定義，2a=|AF1|+|AF2|=

(1+1)2+( 2 2 )2

+

(1-1)2+( 2 2 )2

=2

2

…（4分）
∴a=

2

，∵c=1，∴b²=a²-c²=1．…（5分）
故所求的橢圓方程為

x2

2

+y2=1．…（6分）
（2）設(shè)P(x，y).

PF1

=(-1-x，-y)，

PB

=(2-x，-y)…（7分）
∴

PF1

•

PB

=(-1-x，-y)•(2-x，-y)=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2…（9分）
∵點(diǎn)P在橢圓上，
∴y2=1-

x2

2

…（10分）
∴

PF1

•

PB

=

1

2

x2-x-1=

1

2

(x-1)2-

3

2

∵-

2

≤x≤

2

…（12分）
∴x=1，

PF1

•

PB

有最小值-

3

2

；
x=-

2

，

PF1

•

PB

有最大值

1

2

×(-

2

)2+

2

-1=

2

∴-

3

2

≤

PF1

•

PB

≤

2

，
∴

PF1

•

PB

的范圍是[-

3

2

，

2

]…（14分）