Question

已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)為F1(-2

2

，0)，F2(2

2

，0)，P為橢圓上一點(diǎn)，滿足∠F₁PF₂=60°．
（1）當(dāng)直線l過F₁與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且△MF₂N的周長為12時，求C的方程；
（2）求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義，知|MF₁|+|MF₂|=2a，|NF₁|+|NF₂|=2a，兩式相加得三角形的周長，從而求得a，b的值；得橢圓C的方程．
（2）在△PF₁F₂中，由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2•|PF₁|•|PF₂|•cos60°，從而得|PF₁|•|PF₂|的值；再由正弦定理的推論，求得△PF₁F₂的面積．

解答：解：（1）如圖所示，
由橢圓的定義，知|MF₁|+|MF₂|=2a，|NF₁|+|NF₂|=2a，
∴（|MF₁|+|MF₂|）+（|NF₁|+|NF₂|）=4a；
即|MN|+|MF₂|+|NF₂|=4a=12，∴a=3；
又c=2

2

，∴b=1；所以，橢圓C的方程為

x2

9

+y2=1．
（2）在△PF₁F₂中，根據(jù)余弦定理，|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2•|PF₁|•|PF₂|•cos60°；
∴（2c）²=（|PF₁|+|PF₂|）²-3•|PF₁|•|PF₂|=（2a）²-3•|PF₁|•|PF₂|；
∴32=36-3•|PF₁|•|PF₂|；即|PF1|•|PF2|=

4

3

，
所以，S△PF1F2=

1

2

•|PF1|•|PF2|•sin600=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，解題時應(yīng)結(jié)合圖形，認(rèn)真分析，細(xì)心解答．