Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（Ⅰ） 寫出函數(shù)y=f（x）的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）直線L為函數(shù)y=φ（x）的圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線（P為切點(diǎn)），如果函數(shù)y=φ（x）圖象上所有的點(diǎn)（點(diǎn)P除外）總在直線L的同側(cè)，則稱函數(shù)y=φ（x）為“單側(cè)函數(shù)”．
（i）當(dāng)a=

1

2

判斷函數(shù)y=f（x）是否為“單側(cè)函數(shù)”，若是，請(qǐng)加以證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（i i）求證：當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)，e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1．

Answer 1

分析：（I）觀察函數(shù)的表達(dá)式，可得當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1，所以函數(shù)y=f（x）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)M（0，1）．
（II）（i）將a=

1

2

代入，得f（x）=e^x-

1

2

x，然后利用導(dǎo)數(shù)求得y=f（x）圖象在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線L方程為：y=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），再構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ex0•x+ex0•x₀-ex0，討論F（x）的單調(diào)性得知：當(dāng)x=x₀時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值F（x₀）=0．因此，f（x）≥g（x）對(duì)任意的x∈R都成立，所以函數(shù)f（x）圖象上所有的點(diǎn)都位于切線L的上方，由此得當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)y=f（x）是“單側(cè)函數(shù)”．
（ii）根據(jù)（i）的結(jié)論中的不等式，取x₀=0得不等式e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1對(duì)任意x∈R都成立，然后構(gòu)造函數(shù)G（x）=（

1

2

x+1）-[ln（

1

2

x+1）+1]，討論G（x）的單調(diào)性得到當(dāng)x=0時(shí)，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0對(duì)任意x∈（-2，+∞）都成立，從而得到

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1對(duì)任意x∈（-2，+∞）都成立．最后利用不等式的傳遞性，可得當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)，e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1恒成立．

解答：解：（I）∵f（x）=e^x-ax，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=e⁰-a×0=1
所以函數(shù)y=f（x）的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)為M（0，1）．
（II）（i）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=e^x-a，
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f'（x）=e^x-

1

2

，
所以函數(shù)y=f（x）圖象在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線斜率為k=f'（x₀）=ex0-

1

2

，
可得切線L的方程為：y-y₀=（ex0-

1

2

）（x-x₀）
∵y₀=f（x₀）=ex0-

1

2

x₀，
∴函數(shù)y=f（x）圖象在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線L的方程化簡(jiǎn)，
得：y-（ex0-

1

2

x₀）=（ex0-

1

2

）（x-x₀），即y=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀）
設(shè)y=g（x）=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），
再記F（x）=f（x）-g（x）=（e^x-

1

2

x）-[（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀）]=e^x-ex0•x+ex0•x₀-ex0，
對(duì)F（x）求導(dǎo)數(shù)，得F'（x）=e^x-ex0，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，得函數(shù)F（x）在區(qū)間（x₀，+∞）為增函數(shù)；
當(dāng)x＜x₀時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，得函數(shù)F（x）在區(qū)間（-∞，x₀）為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=x₀時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值F（x₀）=0．即F（x）≥0對(duì)任意的x∈R，都有F（x₀）≥0，
也就是f（x）≥g（x）對(duì)任意的x∈R都成立．
因此，函數(shù)f（x）圖象上所有的點(diǎn)都位于切線L的上方，由此可得當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)y=f（x）是“單側(cè)函數(shù)”．
（ii）由（i）的證明可得e^x+

1

2

x≥（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），
取x₀=0，得不等式e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1對(duì)任意x∈R都成立…①，
接下來(lái)證明

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在區(qū)間（-2，+∞）上恒成立：
記函數(shù)G（x）=（

1

2

x+1）-[ln（

1

2

x+1）+1]=

1

2

x-ln（

1

2

x+1），
對(duì)G（x）求導(dǎo)數(shù)，得G'（x）=

1

2

-

1

1 2 x+1

•

1

2

=

x

2(x+2)

∴當(dāng)x＞0時(shí)，G'（x）＞0，得函數(shù)G（x）在區(qū)間（0，+∞）為增函數(shù)；
當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，得函數(shù)F（x）在區(qū)間（-2，0）為減函數(shù)，
可得當(dāng)x=0時(shí)，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0對(duì)任意的x∈（-2，+∞）都成立．
所以不等式

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在區(qū)間（-2，+∞）上恒成立…②，
對(duì)照①②可得e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在區(qū)間（-2，+∞）上恒成立，
即當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)），e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊的函數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性與最值，來(lái)證明不等式恒成立，并且用圖象解釋了不等式的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．