【題目】已知動圓
與圓
相切，且與圓
相內切，記圓心
的軌跡為曲線
；設
為曲線
上的一個不在
軸上的動點，
為坐標原點，過點
作
的平行線交曲線
于
兩個不同的點．
（1）求曲線
的方程；
（2）試探究
和
的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；
（3）記
的面積為
，
的面積為
，令
，求
的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
試題分析：（1）根據兩圓相切得圓心距與半徑之間關系：
，消去半徑得
，符合橢圓定義，由定義可得軌跡方程（2）探究問題，實質是計算問題，即利用坐標求
和
的比值：根據直線方程與橢圓方程聯立方程組，利用兩點間距離公式及韋達定理、弦長公式可得和的表達式，兩式相比即得比值（3）因為
的面積
的面積，所以
，利用原點到直線距離得三角形的高，而底為弦長MN（2中已求），可得面積表達式，為一個分式函數，結合變量分離法（整體代換）、基本不等式求最值
試題解析：解：（1）設圓心
的坐標為
，半徑為
，
由于動圓
一圓
相切，且與圓
相內切，所以動圓
與圓
只能內切
∴
∴圓心
的軌跡為以
為焦點的橢圓，其中
，
∴
故圓心
的軌跡．
（2）設
，直線
，則直線
，
由
可得：
，∴
，
∴
由
可得：
，
∴
，
∴
．
∴
∴
和
的比值為一個常數，這個常數為．
（3）∵
，∴的面積的面積，∴，
∵
到直線
的距離
，
∴
．1
令
，則
，
，
∵
（當且僅當
，即
，亦即
時取等號）
∴當時，
取最大值．1
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
： 
，焦點
， 
為坐標原點，直線
（不垂直
軸）過點
且與拋物線
交于
兩點，直線
與
的斜率之積為
.
（1）求拋物線
的方程；
（2）若
為線段
的中點，射線
交拋物線
于點
，求證： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設命題
對任意實數
，不等式
恒成立；命題
方程
表示焦點在
軸上的雙曲線．
（1）若命題
為真命題，求實數
的取值范圍；
（2）若命題：“
”為真命題，且“
”為假命題，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某同學用“五點法”畫函數
在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：
ωx＋φ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin（ωx＋φ） | 0 | 5 | －5 | 0 |
（1）請將上表數據補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數f（x）的解析式；
（2）將
圖象上所有點向左平行移動
個單位長度，得到
的圖象，求的圖象離原點O最近的對稱中心.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班50名學生在一次數學測試中，成績全部介于50與100之間，將測試結果按如下方式分成五組：第一組[50，60），第二組[60，70），…，第五組[90，100].如圖所示是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
（Ⅰ）若成績大于或等于60且小于80，認為合格，求該班在這次數學測試中成績合格的人數；
（Ⅱ）從測試成績在[50，60）∪[90，100]內的所有學生中隨機抽取兩名同學，設其測試成績分別為m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率.
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