Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（﹣4，0），D（0，4）設△AOB的外接圓圓心為E．
（1）若⊙E與直線CD相切，求實數a的值；
（2）設點P在圓E上，使△PCD的面積等于12的點P有且只有三個，試問這樣的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的標準方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C（﹣4，0）、D（0，4），

∴直線CD方程為 ．化簡得x﹣y+4=0．

又∵△AOB的外接圓圓心為E（ ， ），半徑r= ．

∴由⊙E與直線CD相切，得圓心E到直線CD的距離等于半徑，

即 = ，即2 = ，解之得a=4

（2）解：C（﹣4，0）、D（0，4），可得|CD|= =4 ，

設P到直線CD的距離為d，可得△PCD的面積S= |CD|×d=12，

即 ，解之得d=3 ．

因此，只須與CD平行且與CD距離為3 的兩條直線中的一條與⊙E相切，

另一條與⊙E相交．

∵由（1）的計算，可知圓心E到直線CD距離為2 ，

∴圓E的半徑為2 +3 =5 ，即r= =5 ，解得a=10．

即存在a=10，滿足使△PCD的面積等于12的點P有且只有三個，⊙E的標準方程是（x﹣5）2+（y﹣5）2=50．

【解析】（1）根據△AOB為等腰直角三角形，算出它的圓心為E（ ， ），半徑r= ．求出直線CD的方程，根據⊙E與CD相切，利用點到直線的距離公式建立關于a的等式，解之即可得出實數a的值；（2）由|CD|=4 與△PCD的面積等于12，算出P到直線CD的距離為d=3 ．若滿足條件的點P有3個，說明與CD平行且與CD距離為3 的兩直線中的一條與⊙E相切且另一條與⊙E相交．由此算出⊙E的半徑，進而算出實數a的值，得到滿足條件的⊙E的標準方程．