Question

【題目】已知函數，．

（1）若函數在處取得極值，求實數的值；

（2）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）討論函數的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）求出函數的導數，由題意可得，即可得，注意檢驗；

（2）由條件可得，在區間上恒成立，運用參數分離，求得右邊函數的范圍，即可得到的范圍；

（3）令，則，求出導數，結合圖象對討論，即可判斷零點個數.

（1）因為函數在處取得極值，，

所以，即，解得，

經檢驗，當時，函數在處取得極小值．所以實數的值為．

（2）由（1）知，，．

因為函數在區間上單調遞增，所以在區間上恒成立．

即在區間上恒成立．

易得當時，，所以．

故實數的取值范圍為．

（3）因為，所以，．

令得，

令，，

則．

當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減．

畫出函數的草圖，

易得，

并且圖象無限靠近于原點，且當時，，

故當時，函數無零點；當或時，函數有一個零點；當時，函數有兩個零點．