Question

（本小題滿分12分）

    已知直線過橢圓的右焦點，拋物線：的焦點為橢圓的上頂點，且直線交橢圓于、兩點，點、、 在直線上的射影依次為點、、．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l交y軸于點，且，當變化時，探求的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（3）連接、，試探索當變化時，直線與是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

(1)

(2)

(3)

【解析】解：（Ⅰ）易知橢圓右焦點∴，

    拋物線的焦點坐標

    橢圓的方程

    （Ⅱ）易知，且與軸交于，

    設直線交橢圓于

    由

    ∴

    ∴

    又由

       同理

    ∴

    ∵               

    ∴

    所以，當變化時， 的值為定值；

    （Ⅲ）先探索，當時，直線軸，

    則為矩形，由對稱性知，與相交的中點，且，

    猜想：當變化時，與相交于定點

    證明：由（Ⅱ）知，∴

    當變化時，首先證直線過定點，

    方法1）∵

    當時，

   

    ∴點在直線上，

    同理可證，點也在直線上；

    ∴當變化時，與相交于定點

    方法2）∵，

   

   

    ∴，∴、、三點共線，同理可得、、也三點共線；

    ∴當變化時，與相交于定點