Question

附加題：
A．如圖，四邊形ABCD內接于圓O，弧AB=弧AD，過A點的切線交CB的延長線于E點．
求證：AB²=BE•CD．
B．設數列{a_n}，{b_n}滿足a_n+1=3a_n+2b_n，b_n+1=2b_n，且滿足

an+4 bn+4

=M

an bn

，試求二階矩陣M．
C．已知橢圓C的極坐標方程為ρ2=

12

3cos2θ+4sin2θ

，點F₁，F₂為其左、右焦點，直線l的參數方程為

x=2+ 2 2 t y= 2 2 t

（t為參數，t∈R）．求點F₁，F₂到直線l的距離之和．
D．已知x，y，z均為正數．求證：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

Answer 1

分析：A：連接AC，因為EA切圓O于A，所以∠EAB=∠ACB．因為弧AB=弧AD，所以AB=AD，∠EAB=∠ACD，又四邊形ABCD內接于圓O，所以△ABE∽CDA．所以AB²=BE•CD．
B：由題設得

an+1 bn+1

=

3 2 0 2

an bn

，設A=

3 2 0 2

，則M=A⁴．由矩陣的運算法則能夠求出二階矩陣M的值．
C：直線l普通方程為y=x-2；曲線C的普通方程為

x2

4

+

y2

3

=1．由此能夠求出點F₁，F₂到直線l的距離之和．
D：因為x，y，z都是為正數．所以

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

x

y

+

y

x

) ≥

2

z

，同理可得

y

zx

+

z

xy

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，由此可得

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

解答：A．證：連接AC，因為EA切圓O于A，所以∠EAB=∠ACB．
因為弧AB=弧AD，所以∠ACD=∠ACB，AB=AD，于是∠EAB=∠ACD（5分）
又四邊形ABCD內接于圓O，所以∠ABE=∠D，所以△ABE∽CDA．
于是

AB

CD

=

BE

DA

，即AB•DA=BE•CD，所以AB²=BE•CD（10分）
B解：由題設得

an+1 bn+1

=

3 2 0 2

an bn

，設A=

3 2 0 2

，則M=A⁴．（5分）
A2=

3 2 0 2

3 2 0 2

=

9 10 0 4

M=A⁴=（A²）²=

9 10 0 4

9 10 0 4

=

81 130 0 16

．（10分）
C解：（1）直線l普通方程為y=x-2；
曲線C的普通方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴點F₁到直線l的距離d₁=

|-1-0-2|

2

=

3 2

2

點F₂到直線l的距離d₂=

|1-0-2|

2

=

2

2

，
∴d1+d2=2

2

．（10分）
D證明：因為x，y，z都是為正數．所以

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

x

y

+

y

x

)≥

2

z

，
同理可得

y

zx

+

z

xy

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，當且僅當x=y=z時，以上三式等號都成立．
將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．（10分）

點評：本題考查二階矩陣、極坐標方程、直線的參數方程和不等式的證明，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．