Question

【題目】已知函數．

(1)討論函數的單調性；

(2)若函數有兩個極值點，且恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)由題意知，求得函數的導數，令，則，

分類討論即可求解函數的單調區間；

(2)由(1)得，，化簡，令，則，令，利用導數求得函數的單調性與最值，進而可求解實數的范圍。

(1)由題意知，函數的定義域是，

，令，則，

①當時，，恒成立，函數在上單調遞增；

②當時，，方程有兩個不同的實根，分別設為，不妨令，

則，，此時，

因為當時，，當時，

，當時，，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．

綜上，當時，在上單調遞增；當時在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．

(2)由(1)得在上單調遞減，，，

則 ，

令，則，，

令，則，

故在上單調遞減且，

故，即，

而，其中，

令，，所以在上恒成立，

故在上單調遞減，從而，

故的取值范圍是.