已知直角梯形
中，
是邊長為2的等邊三角形，
．沿
將
折起，使
至
處，且
；然后再將
沿
折起，使
至
處，且面
面
，
和
在面的同側．
(Ⅰ) 求證：
平面；
(Ⅱ) 求平面
與平面所構成的銳二面角的余弦值．
(Ⅰ) 詳見解析；(Ⅱ ) 平面
與平面
所構成的銳二面角的余弦值為
．
【解析】
試題分析：(Ⅰ) 在直角梯形ABCD中，由平面幾何知識
，又
，可證得
平面；(Ⅱ ) 建立空間直角坐標系，利用法向量可求出二面角的余弦值．
試題解析：(Ⅰ)證明：在直角梯形ABCD中，可算得
根據勾股定理可得，即：
，又
，平面；
(Ⅱ) 以C為原點，CE為y軸，CB為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則
,
，
，
，作
，因為面
面，易知，
，且
，
從平面圖形中可知：
，易知面CDE的法向量為
設面PAD的法向量為
，且
．
解得
故所求平面與平面所構成的銳二面角的余弦值為．
考點：1、線面垂直的判定，2、二面角的求法．
名師金手指領銜課時系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江西省景德鎮市高三下學期第三次（期中）質檢理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知直角梯形
中，
，
，
，
是等邊三角形，平面
⊥平面.
（1）求二面角
的余弦值；
（2）求
到平面
的距離．
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中，
，
，
，
是等邊三角形，平面
⊥平面
的余弦值；
到平面
的距離．
中，
，
，
，
是等邊三角形，平面
⊥平面
；
的體積．