Question

已知二次函數f（x）=x²+ax+c，滿足不等式f（x）＜0的解集是（-2，0），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數f（x）的圖象上，且a₁=99，令b_n=lg（1+a_n），
①求證：數列{b_n}為等比數列；
②令c_n=nb_n，數列{c_n}的前n項和為S_n，是否存在正實數k使得不等式kn²b_n＞S_n+b_n+2-2對任意n∈N^*的恒成立？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于不等式f（x）=x²+ax+c＜0的解集是（-2，0），可得-2，0是方程x²+ax+c=0的兩個實數根．利用根與系數的關系即可得出．
（Ⅱ）由于點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數f（x）的圖象上，可得an+1=an2+2an，
（ⅰ）變形為an+1+1=an2+2an+1=(an+1)2，兩邊取對數即可證明；
（ii）利用（i）可得b_n，進而得到c_n．利用“錯位相減法”即可得到S_n．把恒成立問題轉化為二次函數的單調性求最大值問題即可．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式f（x）=x²+ax+c＜0的解集是（-2，0），
∴-2，0是方程x²+ax+c=0的兩個實數根．
由韋達定理得

-2+0=-a -2•0=c

，解得

a=2 c=0

，
∴f（x）=x²+2x；
（Ⅱ）∵點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數f（x）的圖象上，∴an+1=an2+2an，
（ⅰ）an+1+1=an2+2an+1=(an+1)2，
∴lg(an+1+1)=lg(an+1)2=2lg(an+1)，
即b_n+1=2b_n，
∴數列{b_n}為等比數列； 
（ⅱ）由（ⅰ）知b₁=lg（a₁+1）=2，公比為2，
∴bn=2•2n-1=2n；
又cn=nbn=n•2n，
∴Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n，
2Sn=，1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1，
錯位相減得：-Sn=1•21+22+23+…+2n-n•2n+1，
整理得Sn=(n-1)•2n+1+2，
∵kn²b_n＞S_n+b_n+2-2，即kn²•2ⁿ＞（n-1）2ⁿ⁺¹+2+2ⁿ⁺²-2，
化簡整理得k＞

2n+2

n2

對任意n∈N^*的恒成立，
令g(n)=

2n+2

n2

=2•

1

n

+2•

1

n2

，只要k＞g（n）_max，
配方得g(n)=2(

1

n

+

1

2

)2-

1

2

，
∵

1

n

∈(0，1]，∴當

1

n

=1時g（n）_max=4，即k＞4．

點評：本題綜合考查了一元二次不等式的解法、變形取對數求數列的通項公式、“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式、二次函數的單調性、畫出李文濤的等價轉化等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．