Question

【題目】設橢圓的一個焦點為，且橢圓過點，為坐標原點，

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點、，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的最大值，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據，且，解得答案.

（2）設切線方程為，根據垂直得到，故，得到，，考慮和和斜率不存在三種情況，分別計算得到答案.

（1）根據題意：，且，解得，故標準方程為：.

（2）假設存在圓滿足，當斜率存在時，設切線方程為.

，故.

，即.

，

.

，即，故，即.

，故，故.

當直線斜率不存在時，根據對稱性不妨取，，

滿足.

綜上所述：存在使題目條件成立.

.

當時，；

當時，，當，即時等號成立；

當斜率不存在時，易知；

綜上所述：的最大值為.