Question

設正項數列{a_n}的前項和為S_n，q為非零常數．已知對任意正整數n，m，當n＞m時，S_n-S_m=q^m•S_n-m總成立．
（1）求證數列{a_n}是等比數列； 
（2）若正整數n，m，k成等差數列，求證：

1

Sn

+

1

Sk

≥

2

Sm

．

Answer 1

分析：（1）因為對任意正整數n，m，當n＞m時，S_n-S_m=q^m•S_n-m總成立．所以當n≥2時：S_n-S_n-1=q^n-1S₁，由此能夠證明{a_n}是等比數列． 
（2）若q=1，則S_n=na₁，S_m=ma₁，S_k=ka₁．所以

1

Sn

+

1

Sk

=

n+k

nka1

=

2m

nka1

≥

2m

( n+k 2 )2•a1

=

2m

m2a1

=

2

ma1

=

2

Sm

．若q≠1，則Sn=

a1(1-qn)

1-q

，Sm=

a1(1-qm)

1-q

，Sk=

a1(1-qk)

1-q

．所以

1

Sn

+

1

Sk

≥2

1 SnSk

=2

(1-q)2 (1-qn)(1-qk)a12

．由此能夠證明

1

Sn

+

1

Sk

≥

2

Sm

．

解答：證明：（1）因為對任意正整數n，m，
當n＞m時，S_n-S_m=q^m•S_n-m總成立．
所以當n≥2時：S_n-S_n-1=q^n-1S₁，
即a_n=a₁•q^n-1，且a₁也適合，又a_n＞0，
故當n≥2時：

an

an-1

=q（非零常數），
即{a_n}是等比數列．  …（6分）
（2）若q=1，則S_n=na₁，S_m=ma₁，S_k=ka₁．
所以

1

Sn

+

1

Sk

=

n+k

nka1

=

2m

nka1

≥

2m

( n+k 2 )2•a1

=

2m

m2a1

=

2

ma1

=

2

Sm

．    …（8分）
若q≠1，則Sn=

a1(1-qn)

1-q

，Sm=

a1(1-qm)

1-q

，Sk=

a1(1-qk)

1-q

．  …（10分）
所以

1

Sn

+

1

Sk

≥2

1 SnSk

=2

(1-q)2 (1-qn)(1-qk)a12

．          …（12分）
又因為（1-qⁿ）（1-q^k）=1-（qⁿ+q^k）+q^n+k
≤1-2

qn+k

+qn+k=1-2qm+q2m=(1-qm)2．
所以

1

Sn

+

1

Sk

≥2

1 SnSk

=2

(1-q)2 (1-qn)(1-qk)a12

≥2

(1-q)2 (1-qm)2•a12

=

2

Sm

．
綜上可知：若正整數n，m，k成等差數列，
不等式 

1

Sn

+

1

Sk

≥

2

Sm

總成立．
（當且僅當n=m=k時取“=”）  …（16分）

點評：本題考查數列的遞推公式的應用，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．