Question

（1）已知數列{a_n}滿足a1=1，an+1=

2an2+3an+m

an+1

(n∈N*)，①若恒有a_n+1≥a_n，求m的取值范圍．②在-3≤m＜1時，證明：

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

（2）設正項數列{a_n}的通項a_n滿足條件：（a_n）ⁿ+na_n-1=0（n∈N^*），求證：0＜an≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）①將該不等式進行等價轉化，利用分離變量思想轉化為函數恒成立問題，從而求出m的取值范圍；
②將每一項進行適當放縮轉化，通過放縮轉化化為特殊數列進行求和，即可證明．
（2）構造函數，通過函數的導數，判斷函數的單調性，利用零點存在定理，判斷即可．

解答：解：（1）①由題意可知an+1=

2an2+3an+m

an+1

≥a_n，可得m≥-

a

2 n

 -an，
因為a_n+1≥a_n，所以數列是遞增數列，
∴m≥-3．
②-3≤m＜1時，由①知a_n+1≥a_n，且a_n＞0．
設數列cn=

1

an+1

，則cn+1=

1

an+1+1

=

1

2 a 2 n +3an+m an+1 +1

=

an+1

2(an+1)2+m-1

，
∵m＜1，即m-1＜0，
故cn+1＞

an+1

2(an+1)2

=

1

2

•

1

an+1

=

1

2

cn，
∴c1=

1

2

，c2＞

1

2

c1=

1

22

，c3＞

1

2

c2＞

1

23

，…，cn＞

1

2

cn-1＞

1

2n

(n≥2)
∴c1+c2+…+cn=

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

＞

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
即在-3≤m＜1時，有

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

成立．
cn=

1

an+1

（2）令f（x）=xⁿ+nx-1，
f′（x）=nx^n-1+n，
x＞0，f′（x）＞0，所以函數是增函數，
∵f(0)＜0  ， f(

1

2

)≥0
所以f（x）=0在（0，+∞）上恰有一根，且根在(0，

1

2

]上，
得證

點評：本題考查給出數列的遞推關系，考查根據數列的遞推關系確定數列的通項公式的方法，關鍵要轉化為特殊數列，考查學生的轉化與化歸思想，處理數列恒成立問題的函數思想．放縮法證明不等式的思想，做好這類問題的關鍵是向特殊數列的轉化．