Question

【題目】已知sinα=﹣ ，tan（α+β）=﹣3，π＜α＜ ，0＜β＜π．
（Ⅰ）求tanβ；
（Ⅱ）求2α+β的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為π＜α＜ ，∴cosα=﹣ =﹣ ，∴tanα= = ，

∴tanβ=tan[（α+β）﹣α]= = =7．

（Ⅱ）因為tan（α+β）=﹣3，tanα= ，所以tan（2α+β）=tan[（α+β）+α]= = =﹣1．

由（Ⅰ）知tanβ＞1，所以 ＜β＜ ．

又因為π＜α＜ ，所以2π+ ＜2α+β＜ ，所以2α+β=2π+ = ．

【解析】（Ⅰ）根據同角三角函數的基本公式可求得tanα=，再由拼湊法可得tanβ=tan[（α+β）﹣α]=7.
（Ⅱ）由已知拼湊可得 tan（2α+β）=tan[（α+β）+α] 根據兩角和差的正切值可求得結果。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解兩角和與差的正切公式的相關知識，掌握兩角和與差的正切公式：．