Question

設函數f（x）=

1

4

x2+bx-

3

4

．已知不論α，β為何實數，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0．對于正項數列{a_n}，其前n項和為S_n=f（a_n）n∈N^*．
（1）求實數b；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若C_n=

1

(1+an)2

(n∈N+)且數列{Cn}的前n項和為Tn，比較Tn與

1

6

的大小，并說明理由．

Answer 1

（1）∵cosα∈[-1，1]，sinβ∈[-1，1]，2-sinβ∈[1，3]
不論α、β為何實數恒有  f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0
即對x∈[-1，1]有f（x）≤0對x∈[1，3]有f（x）≥0
∴x=1時f（1）=0
（2）∵Sn=f(an)=

1

4

a

2n

+

1

2

an-

3

4

?Sn-1=

1

4

a

2n-1

+

1

2

an-1-

3

4

∴n≥2時Sn-Sn-1=an=

1

4

(

a

2n

-

a

2n-1

)+

1

2

(an-an+1)
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=2
∴{a_n}是首項為a，公差為2的等數列
由a1=S1代入方程a1=

1

4

a

21

+

1

2

a1-

3

4

?

a

21

-2a1-3=0
∴a₁=3∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（3）∵Cn=

1

(1+2n+1)2

=

1

(2n+2)2

＜

1

(2n+2)2-1

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴Tn=C1+C2+…+Cn＜

1

2

[

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

]=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

1

6

-

1

2(2n+3)

＜

1

6