Question

（2013•鎮江一模）一位幼兒園老師給班上k（k≥3）個小朋友分糖果．她發現糖果盒中原有糖果數為a₀，就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的

1

2

分給第一個小朋友；再從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的

1

3

分給第二個小朋友；…，以后她總是在分給一個小朋友后，就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內糖果的

1

n+1

分給第n（n=1，2，3，…k）個小朋友．如果設分給第n個小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內剩下的糖果數為a_n．
（1）當k=3，a₀=12時，分別求a₁，a₂，a₃；
（2）請用a_n-1表示a_n；令b_n=（n+1）a_n，求數列{b_n}的通項公式；
（3）是否存在正整數k（k≥3）和非負整數a₀，使得數列{a_n}（n≤k）成等差數列，如果存在，請求出所有的k和a₀，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知：a_n=（a_n-1+2）-

1

n+1

（a_n-1+2），將k=3，a₀=12代入可得a₁，a₂，a₃；
（2）將a_n=（a_n-1+2）-

1

n+1

（a_n-1+2）變形得（n+1）a_n=n（a_n-1+2）=na_n-1+2n，即b_n-b_n-1=2n，利用累加法可得b_n-b₀=n（n+1），進而得到數列{b_n}的通項公式；
（3）由（2）得a_n=n+

a0

n+1

，根據等差數列滿足a₁+a₃=2a₂，代入求出a₀=0，a_n=n時，滿足條件．

解答：解：（1）當k=3，a₀=12時，
a₁=（a₀+2）-

1

2

（a₀+2）=7，
a₂=（a₁+2）-

1

3

（a₁+2）=6，
a₃=（a₂+2）-

1

4

（a₀+2）=6，
（2）由題意知：a_n=（a_n-1+2）-

1

n+1

（a_n-1+2）=

n

n+1

（a_n-1+2），
即（n+1）a_n=n（a_n-1+2）=na_n-1+2n，
∵b_n=（n+1）a_n，
∴b_n-b_n-1=2n，
∴b_n-1-b_n-2=2n-2，
…
b₁-b₀=2，
累加得b_n-b₀=

(2+2n)

2

n=n（n+1）
又∵b₀=a₀，
∴b_n=n（n+1）+a₀，
（3）由b_n=n（n+1）+a₀，得a_n=n+

a0

n+1

，
若存在正整數k（k≥3）和非負整數a₀，使得數列{a_n}（n≤k）成等差數列，
則a₁+a₃=2a₂
即（1+

1

2

a₀）+3+

1

4

a₀=2（2+

1

3

a₀）
∴a₀=0
即當a₀=0時，a_n=n，對任意正整數k（k≥3），有{a_n}（n≤k）成等差數列．

點評：本題主要考查數列的定義、通項求法；考查反證法；考查遞推思想；考查推理論證能力；考查閱讀理解能力、建模能力、應用數學解決問題能力．本題還可以設計：如果班上有5名小朋友，每個小朋友都分到糖果，求 的最小值．