Question

已知二次函數為常數）；.若直線l₁、l₂與函數f（x）的圖象以及l₁，y軸與函數f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.

   （Ⅰ）求a、b、c的值；

   （Ⅱ）求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式；

   （Ⅲ）若問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）函數f（x）的解析式為 

（Ⅱ）

（Ⅲ）當m=7或時，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點．

解析:

（I）由圖形  知：，

∴函數f（x）的解析式為…………………………4分

（Ⅱ）由

得

∵0≤t≤2

∴直線l₁與f（x）的圖象的交點坐標為（…………………………6分

由定積分的幾何意義知：

………………………………9分

（Ⅲ）令

因為x＞0，要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，則函數

的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點

當x∈（0，1）時，是增函數；

當x∈（1，3）時，是減函數

當x∈（3，+∞）時，是增函數

當x=1或x=3時，

∴

………………………………12分

又因為當x→0時，

當

所以要使有且僅有兩個不同的正根，必須且只須

即

∴m=7或

∴當m=7或時，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點．