Question

20.設y=f（x）是定義在區間［－1，1］上的函數，且滿足條件：

（ⅰ）f（－1）=f（1）=0；

（ⅱ）對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）證明：對任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x；

（Ⅱ）判斷函數g（x）=，是否滿足題設條件；

（Ⅲ）在區間［－1，1］上是否存在滿足題設條件的函數y=f（x），且使得對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|=|u－v|.

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由.

Answer 1

20.

（Ⅰ）證明：由題設條件可知，當x∈［－1，1］時，有|f（x）|=|f（x）－f（1）|≤|x－1|=1－x，

即x－1≤f（x）≤1－x.

 

（Ⅱ）答：函數g（x）滿足題設條件.驗證如下：g（－1）=0=g（1）.

對任意的u，v∈［－1，1］，

當u，v∈［0，1］時，有|g（u）－g（v）|=|（1－u）－（1－v）|=|u－v|；當u，v∈［－1，0］時，同理有|g（u）－g（v）|=|u－v|；

當u·v<0時，不妨設u∈［－1，0），v∈（0，1]，有

|g（u）－g（v）|=|（1+u）－（1－v）|=|u+v|≤|v－u|.

所以，函數g（x）滿足題設條件.

 

（Ⅲ）答：這樣的函數不存在.理由如下：

假設存在f（x）滿足條件，則由f（－1）=f（1）=0，得

|f（1）－f（－1）|=0.                                                      　①

由于對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|= |u－v|，

所以，|f（1）－f（－1）|=|1－（－1）|=2.                       　②

①與②矛盾，因此假設不成立，即這樣的函數不存在.