Question

設y=f（x）是定義在R上的偶函數，滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數，給出下列關于函數y=f（x）的判斷：
①y=f（x）是周期函數；
②y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③y=f（x）在[0，1]上是增函數；
④f(

1

2

)=0．
其中正確判斷的序號是

 

．（把你認為正確判斷的序號都填上）

Answer 1

分析：由題意y=f（x）是定義在R上的偶函數，滿足f（x+1）=-f（x），可以知道該函數的周期為2，在利用f（x）為偶函數且在[-1，0]上為增函數，可以由題意畫出一個草圖即可判斷．

解答：解：因為f（x+1）=-f（x）  所以f（x+2）=-f（x+1）=f（x），由函數的周期定義可知該函數的周期為2，由于f（x）為定義在R上的偶函數且在[-1，0]上為單調遞增函數，所以由題意可以畫出一下的函數草圖為：

由圖及題中條件可以得到：
①正確，周期T=2；
②由圖可以知道該函數關于x=1對稱，所以②正確；
③有已知條件 y=f（x）是定義在R上的偶函數且在[-1，0]上是增函數，所以y=f（x）在[0，1]上為單調遞減函數，故③錯；
④對于f（x+1）=-f（x），令x=-

1

2

，得到：f（

1

2

）=-f（-

1

2

）?f(

1

2

)=-f(

1

2

)（因為函數f（x）為偶函數）∴f(

1

2

)=0故④正確．

點評：此題考查了函數的周期性，對稱性及有抽象函數式子賦值的方法，還考查了學生對于抽象問題的具體化及數形結合的思想．