Question

【題目】已知函數.

（1）設，判斷函數在上的單調性，并加以證明；

（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

（3）設且時，的定義域和值域都是，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增，證明見解析（2）且；（3）最大值為

【解析】

（1）根據函數單調性的定義證明函數在，上的單調性；（2），則不等式對恒成立，令，易證在，遞增，同理，遞減，求出函數，與函數，建立不等關系，解之即可求出的范圍；（3）由（1）及的定義域和值域都是，，則，是方程的兩個不相等的正數根，等價于方程有兩個不等的正數根，利用根與系數的關系即可求出的最大值.

（1）設，則，

，，，，，

即，因此函數在，上的單調遞增．

（2），則不等式對恒成立，

即即不等式對恒成立，

令，易證在，遞增，同理在，遞減．

（1），（1），

且

（3）由（1）及的定義域和值域都是，得，，

因此，是方程的兩個不相等的正數根，

等價于方程有兩個不等的正數根，

即△且，

解得，

，

，

時，最大值為．