Question

已知二次函數f（x）=ax²+|a-1|x+a．
（1）函數f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）關于x不等式≥2在x∈[1，2]上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）函數g（x）=f（x）+在（2，3）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）分a＞0，a＜0兩種情況求出二次函數f（x）的增區間，使（-∞，-1）為增區間的子集即可；
（2）≥2在x∈[1，2]上恒成立，等價于在[1，2]上的最小值大于等于2，利用導數即可求得其最小值；
（3）設2＜x₁＜x₂＜3，則g（x₁）＜g（x₂）恒成立，分離出參數a后轉化為求函數最值即可解決；
解答：解：顯然a≠0（1）若a＞0，f（x）的增區間為，+∞），而函數f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，不符合題意；
若a＜0，則f（x）=ax²+（1-a）x+a，其增區間為（-∞，-）．
又f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，所以有-≥-1，解得a，
故a＜0，所以實數a的取值范圍為：a＜0．
（2）≥2即ax++|a-1|≥2，令g（x）=ax++|a-1|，
則≥2在x∈[1，2]上恒成立，等價于g_min（x）≥2，
g′（x）=a-=，
①當a＞0時，x∈[1，2]，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]上遞增，
g_min（x）=g（1）=2a+|a-1|≥2，解得a≥1；
②當a＜0時，g′（x）≤0，此時g（x）在[1，2]上遞減，
g_min（x）=g（2）=2a++|a-1|=a+1≥2，解得a，（舍）
綜上，實數a的取值范圍為a≥1．
（3）g（x）=ax²++a在（2，3）上是增函數，
設2＜x₁＜x₂＜3，則g（x₁）＜g（x₂），
++a＜++a，a（x₁+x₂）（x₁-x₂）＜，
因為2＜x₁＜x₂＜3，所以a＞，
而∈（，），
所以a．
點評：本題考查二次函數的單調性及函數恒成立問題，考查分類討論思想，考查學生靈活運用所學知識分析解決問題的能力，屬中檔題．