Question

如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）若二面角P-CD-B為45°，AD=2，CD=3，求點F到平面PCE的距離；
（3）在（2）的條件下，求PC與底面所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PC中點M，連結ME、MF，可證得四邊形AFME是平行四邊形，則AF∥EM，由線面平行的判定定理可得AF∥平面PCE；
（2）以A為坐標原點，分別以AE、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立坐標系，求出平面PCE的法向量為

n

═（4，-3，3），將

PF

=（0，1，-1）代入點F到平面PCE的距離為d=

| PF • n |

| n |

，可得點F到平面PCE的距離；
（3）由PA⊥平面ABCD，可得AC是PC在底面上的射影，即∠PCA就是PC與底面所成的角．求出向量

CA

，

CP

，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（1）取PC中點M，連結ME、MF，
則MF∥CD，MF=

1

2

CD．
又AE∥CD，AE=

1

2

CD，
∴AE∥MF且AE=MF．
∴四邊形AFME是平行四邊形．
∴AF∥EM．
∵AF?平面PCE，EM?平面PCE，
∴AF∥平面PCE．
（2）解：以A為坐標原點，分別以AE、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立坐標系．
∵PA⊥平面AC，CD?平面AC
∴PA⊥CD
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD
∴CD⊥平面PAD
又∵PD?平面PAD
∴CD⊥PD．
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°．
∴A（0，0，0）、P（0，0，2）、D（0，2，0）、F（0，1，1）、E（

3

2

，0，0）、C（3，2，0）．
設平面PCE的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n

⊥

EP

，

n

⊥

EC

，而

EP

=（-

3

2

，0，2），

EC

=（

3

2

，2，0），
∴-

3

2

x+2z=0，且

3

2

x+2y=0．
取x=4，得

n

=（4，-3，3）．
又

PF

=（0，1，-1），
故點F到平面PCE的距離為d=

| PF • n |

| n |

=

3 34

17

解：（3）∵PA⊥平面ABCD，
∴AC是PC在底面上的射影．
∴∠PCA就是PC與底面所成的角．

CA

=（-3，-2，0），

CP

=（-3，-2，2）．
∴cos∠PCA=

| CA • CP |

| CA || CP |

=

221

17

，
即PC與底面所成的角的余弦值是

221

17

點評：本題考查的知識點是線面平行的判定定理，點到平面的距離，二面角，線面夾角，其中（1）的關鍵熟練掌握線面平行的判定定理，解答（2）（3）的關鍵是建立空間坐標系，將二面角及線面夾角問題轉化為空間向量夾角問題．