Question

已知在(

x

-

3

x

)n的展開式中，第4項為常數項
（1）求n的值；    
（2）求展開式中含x³項系數．

Answer 1

分析：（1）由二項式定理可得(

x

-

3

x

)n的展開式的通項，進而可得其展開式的第4項，令第4項的系數為0可得

n-9

2

=0，解可得答案；
（2）由（1）求出的(

x

-

3

x

)n的展開式的通項，令x的系數為3，可得r的值，將r的值代入通項，計算可得答案．

解答：解：（1）根據題意，(

x

-

3

x

)n的展開式的通項為T_r+1=C_n^r（

x

）ⁿ（-

3

x

）^r=（-3）^r•C_n^rx

n-3r

2

，
其第4項為T₄=（-3）³C_n³x

n-9

2

，
若其第4項為常數項，必有

n-9

2

=0，解可得n=9；
（2）由（1）可得，(

x

-

3

x

)n的展開式的通項為T_r+1=（-3）^r•C₉^rx

9-3r

2

，
令

9-3r

2

=3，解可得r=1，
此時有T₂=（-3）¹C₉¹x³=-27x³，
即展開式中含x³項系數為-27．

點評：本題考查二項式定理的應用，關鍵要正確運用二項式公式，注意系數與二項式系數的區別．