Question

已知關(guān)于x的不等式x²-4x-m＜0的非空解集為{x|n＜x＜5}．
（1）求實數(shù)m，n的值；
（2）若函數(shù)f（x）=-x²+4ax+4在（1，+∞）上遞減，求關(guān)于x的不等式log_a（-nx²+3x+2-m）＞0（a＞0，a≠1）的解集．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x的不等式x²-4x-m＜0的非空解集為{x|n＜x＜5}，得到n和5是方程x²-4x-m=0的兩個根．根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得到結(jié)果．
（2）由題意知，二次函數(shù)的對稱軸x=2a，2a≤1，得a≤

1

2

，得到a的范圍是(0，

1

2

]，根據(jù)log_a（-nx²+3x+2-m）＞0得到0＜-nx²+3x+2-m＜1，得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵x的不等式x²-4x-m＜0的非空解集為{x|n＜x＜5}．
由題意知，n和5是方程x²-4x-m=0的兩個根，…（2分）
所以n+5=4，5n=-m，得n=-1，m=5   …（4分）
（2）由題意知，對稱軸x=2a，2a≤1，得a≤

1

2

，a的范圍是(0，

1

2

]…（6分）
log_a（-nx²+3x+2-m）＞0?0＜-nx²+3x+2-m＜1
即

x2+3x-4＜0 x2+3x-3＞0

，…（10分）
得-4＜x＜

-3- 21

2

或

-3+ 21

2

＜x＜1…（12分）
所以原不等式的解集為(-4，

-3- 21

2

)∪(

-3+ 21

2

，1)．…（14分）

點評：本題看出一元二次方程與一元二次不等式之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是求出m的值，這樣才能解決第二問，本題是一個中檔題目．