Question

設定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的導函數，當x∈[0，1]時，0≤f（x）≤1；當x∈（0，2）且x≠1時，x（x-1）f′（x）＜0．則方程f（x）=lg|x|根的個數為（　　）

A．12

B．1 6

C．18

D．20

Answer 1

分析：依據函數的周期性，畫出函數y=f（x）的圖象，再在同一坐標系下畫出y=lg|x|的圖象（注意此函數為偶函數），數形結合即可數出兩圖象交點的個數

解答：解：∵f（x+2）=f（x），∴函數y=f（x）的周期是2，
又∵當x∈（0，2）且x≠1時，x（x-1）f′（x）＜0，
∴當0＜x＜1時，x（x-1）＜0，則f′（x）＞0，函數在[0，1]上是增函數
又由當x∈[0，1]時，0≤f（x）≤1，
則f（0）=0，f（1）=1．
而y=lg|x|是偶函數，當x＞0時，其圖象為y=lgx的圖象，即函數為增函數，
由于x=10時，y=lg10=1，
∴其圖象與f（x）的圖象在[0，2]上有一個交點，在每個周期上各有兩個交點，
∴在y軸右側共有9個交點．
∵y=lg|x|是偶函數，其圖象關于y軸對稱，
∴在y軸左側也有9個交點
∴兩函數圖象共有18個交點．
故選：C．

點評：本體考查了函數的周期性，奇偶性及函數圖象的畫法，重點考查數形結合的思想方法，屬基礎題．