Question

12、設定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）+f（x）=1，且當x∈[1，2]時，f（x）=2-x，則f（-2004.5）=

0.5

．

Answer 1

分析：由f（x+1）+f（x）=1推出函數的周期是2，利用周期性對f（-2004.5）化簡，代入已知的解析式求值即可．

解答：解：由已知f（x+1）+f（x）=1在R上恒成立，故有f（x-1）+f（x）=1，兩式相減得f（x+1）-f（x-1）=0，即f（x+1）=f（x-1）恒成立，故函數的周期是2
∴f（-2004.5）=f（-0.5）=f（1.5）
又當x∈[1，2]時，f（x）=2-x，
∴f（1.5）=2-1.5=0.5
故答案為：0.5

點評：本題考查的周期性，由恒等式得函數函數的周期是2是求解本題的關鍵，此需要理解恒等式的意義．