Question

【題目】已如橢圓E：（）的離心率為，點在E上.

（1）求E的方程：

（2）斜率不為0的直線l經過點，且與E交于P，Q兩點，試問：是否存在定點C，使得？若存在，求C的坐標：若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）（2）存在x軸上的定點，使得

【解析】

（1）根據橢圓離心率和過的點，得到關于，的方程組，解得，的值，從而得到橢圓的方程；（2）設存在定點，對稱性可知設，根據，得到，即得，直線的方程為：與橢圓聯立，得到，，從而得到和的關系式，根據對恒成立，從而得到的值.

（1）因為橢圓E的離心率，所以①，

點在橢圓上，所以②，

由①②解得，.

故E的方程為.

（2）假設存在定點，使得.

由對稱性可知，點必在軸上，故可設.

因為，所以直線與直線的傾斜角互補，因此.

設直線的方程為：，，

由消去，得，

，所以，

所以，，

因為，所以，

所以，即.

整理得，

所以，即.

所以，即，對恒成立，

即對恒成立，所以.

所以存在定點，使得.