Question

已知橢圓E的焦點坐標為F₁（-2，0），點M（-2，

2

）在橢圓E上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設Q（1，0），過Q點引直線l與橢圓E交于A，B兩點，求線段AB中點P的軌跡方程；
（3）O為坐標原點，⊙O的任意一條切線與橢圓E有兩個交點C，D且

OC

⊥

OD

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）經過M（-2，

2

），一個焦點坐標為F₁（-2，0），可求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設直線l與橢圓E的兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），相交所得弦的中點P（x，y），由此能導出弦AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

4

8

x1+x2

y1+y2

=-

x

2y

，(y≠0)．再由A，B，P，Q四點共線，知k_AB=k_PQ，由此能導出線段AB中點P的軌跡方程．
（Ⅲ）當⊙O的切線斜率存在時，設⊙O的切線方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根與系數的關系能求出⊙O的半徑．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）經過M（-2，

2

），一個焦點坐標為F₁（-2，0），
∴

a2=8 b2=4

，橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；（5分）
（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設直線l與橢圓E的兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），相交所得弦的中點P（x，y），∴

x12 8 + y12 4 =1① x22 8 + y22 4 =1②

，
①-②得，

(x1+x2)(x1-x2)

8

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，
∴弦AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

4

8

x1+x2

y1+y2

=-

x

2y

，(y≠0)．，
∵A，B，P，Q四點共線，∴k_AB=k_PQ，即-

x

2y

=

y

x-1

，(y≠0且x≠1)，
經檢驗（0，0），（1，0）符合條件，
∴線段AB中點P的軌跡方程是x²+2y²-x=0．（10分）
（Ⅲ）當⊙O的切線斜率存在時，設⊙O的切線方程為y=kx+m，
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則

x3+x4=- 4km 1+2k2 x3x4= 2m2-8 1+2k2

∵

OC

⊥

OD

，∴x₃x₄+y₃y₄=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
∴3m²-8k²-8=0，即k2=

3m2-8

8

，
∵直線y=kx+m為⊙O的一條切線，∴圓的半徑r=

|m|

1+k2

，
即r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，
經檢驗，當⊙O的切線斜率不存在時也成立．∴r=

2 6

3

．（14分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．