Question

已知橢圓的方程

x2

4

+

y2

3

=1，橢圓的兩焦點分別為F₁，F₂，點P是其上的動點，當△PF₁F₂內切圓的面積取最大值時，內切圓圓心的坐標為

 

．

Answer 1

分析：當△PF₁F₂內切圓的面積取最大值時即內切圓半徑最大即Q點的縱坐標的絕對值最大，因此利用s△ p F1F2 =s△qpF1+s△QF1F2+s△pQ F2可得|y|=

1

3

|y_p|而|y_p|≤

3

從而可求出Q點的縱坐標的絕對值的最大值，再結合此時p點的特殊位置求橫坐標x

解答：解：如圖設內切圓圓心的坐標為Q（x，y）
∵橢圓的方程

x2

4

+

y2

3

=1
∴a²=4，b²=3
∴c²=1，a=2，c=1，pF₁+PF₂=2a=4，F₁F₂=2C=2
又∵s△ p F1F2 =s△qpF1+s△QF1F2+s△pQ F2
∴

1

2

×F₁F₂×|y_p|=

1

2

×（pF₁+pF₂+F₁F₂）×|y|
∴|y|=

1

3

|y_p|．．
又∵|y_p|≤

3

∴|y|≤

3

3

此時p點在橢圓與y軸相交的兩個頂點上故x=0同時內切圓面積為πy²≤

π

3

∴Q（

+

.

3

3

，0）
故答案為（

+

.

3

3

，0）

點評：此題主要考查了橢圓與圓的綜合問題．關鍵是要分析出△PF₁F₂內切圓的面積取最大值時即內切圓半徑最大即Q點的縱坐標的絕對值最大同時還要利用面積分割得到關系式|y|=

1

3

|y_p|再利用|y_p|≤

3

求得Q點的縱坐標的絕對值的最大值．此題另一關鍵是要得出當內切圓面積最大時p點落在橢圓與Y軸的交點上此時x=0．此題充分體現了數形結合思想在解題中得應用！