Question

如圖，已知橢圓E₁方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，圓E₂方程為x²+y²=a²，過橢圓的左頂點(diǎn)A作斜率為k₁直線l₁與橢圓E₁和圓E₂分別相交于B、C． 
（Ⅰ）若k₁=1時(shí)，B恰好為線段AC的中點(diǎn)，試求橢圓E₁的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E₁的離心率e=

1

2

，F(xiàn)₂為橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)|BA|+|BF₂|=2a時(shí)，求k₁的值；
（Ⅲ）設(shè)D為圓E₂上不同于A的一點(diǎn)，直線AD的斜率為k₂，當(dāng)

k1

k2

=

b2

a2

時(shí)，試問直線BD是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)k₁=1時(shí)，點(diǎn)C在y軸上，且C（0，a），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入橢圓的方程即可得到a，b的關(guān)系，再利用斜率計(jì)算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

即可得出；
（II）設(shè)橢圓的作焦點(diǎn)為F₁，由橢圓的定義可知：|BF₁|+|BF₂|=2a，即已知|BA|+|BF₂|=2a，即可得出|BF₁|=|BA|，則點(diǎn)B在線段AF₁的垂直平分線上，可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式得到b，a的關(guān)系，把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入橢圓的方程即可得到縱坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式即可得出k₁．
（III）直線BD過定點(diǎn)（a，0）．設(shè)P（a，0），B（x_B，y_B），則點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足橢圓方程．利用斜率計(jì)算公式可得k_AD•k_PB=

a2

b2

k1kPB=

a2

b2

•

yB

xB+a

•

yB

xB-a

，只要證明k_AD•k_PB=-1，而PD⊥AD，即可得到三點(diǎn)P，B，D共線，即直線BD過定點(diǎn)P（a，0）．

解答：解：（I）當(dāng)k₁=1時(shí)，點(diǎn)C在y軸上，且C（0，a），則B(-

a

2

，

a

2

)，
由點(diǎn)B在橢圓上，得

(- a 2 )2

a2

+

( a 2 )2

b2

=1，化為

b2

a2

=

1

3

，
∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

6

3

．
（II）設(shè)橢圓的作焦點(diǎn)為F₁，由橢圓的定義可知：|BF₁|+|BF₂|=2a，又|BA|+|BF₂|=2a，
∴|BF₁|=|BA|，則點(diǎn)B在線段AF₁的垂直平分線上，
∴xB=-

a+c

2

，
又e=

c

a

=

1

2

，∴c=

1

2

a，b=

3

2

a，
∴xB=-

3

4

a，代入橢圓方程得yB=±

7

4

b=±

21

8

a，
∴k1=

yB

xB+a

=±

21

2

．
（III）直線BD過定點(diǎn)（a，0），證明如下：
設(shè)P（a，0），B（x_B，y_B），則

x 2 B

a2

+

y 2 B

b2

=1（a＞b＞0）．
則k_AD•k_PB=

a2

b2

k1kPB=

a2

b2

•

yB

xB+a

•

yB

xB-a

=

a2

b2

•

y 2 B

x 2 B -a2

=

a2

b2

×(-

b2

a2

)=-1．
∴PB⊥AD，又PD⊥AD，
∴三點(diǎn)P，B，D共線，即直線BD過定點(diǎn)P（a，0）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段的垂直平分線、圓的性質(zhì)、相互垂直的直線的斜率關(guān)系、三點(diǎn)共線等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力、計(jì)算能力．