Question

設函數h（x）=x|x|+mx+n給出下列四個命題：
①當m=0時，h（x）=0只有一個實數根；
②當n=0時，y=h（x）為偶函數；
③函數y=h（x）圖象關于點（0，n）對稱；
④當m≠0，n≠0時，方程h（x）=0有兩個不等實根．
上述命題中，正確命題的序號是

①③

．

Answer 1

分析：①可根據h（x）在R上單調性和值域確定h（x）=0只有一個實數根正確；
②當n=0時，h（x）=x|x|+mx，再由函數奇偶性的定義可判斷為奇函數；
③分別表示出h（x）與h（-x），然后相加得到h（x）+h（-x）=2n，即可得到函數y=h（x）圖象關于點（0，n）對稱，從而判斷正誤；
④令m＞0，n＞0，然后畫出函數h（x）的圖象可判斷方程h（x）=0有兩個不等實根不正確．

解答：解：①當m=0時，h（x）=

x2+n，x≥0 -x2+n，x＜0

，函數h（x）在R上單調遞增，且值域為R，故h（x）=0只有一個實數根正確，即①正確；
②當n=0時，函數h（x）=x|x|+mx+n=x|x|+mx，所以h（-x）=-x|-x|-mx=-h（x）
∴函數h（x）為奇函數，②不正確；
③∵h（x）=x|x|+mx+n，h（-x）=-x|-x|-mx+n
∴h（x）+h（-x）=x|x|+mx+n+（-x|-x|-mx+n）=2n
∴函數y=h（x）圖象關于點（0，n）對稱，故③正確；
④當m≠0，n≠0時，例如m=3，n=-2時，h（x）=

-x2+mx+n，x＜0 x2+mx+n，x≥0

，與x軸的交點的個數為3個，④不正確．
故答案為①③

點評：本土主要考查二次函數的圖象和性質，考查二次函數的根的個數的判定和對稱性．