Question

設f（n，p）=C_2n^p（n，p∈N，p≤2n）．數列{a（n，p）}滿足a（1，p）+a（2，p）+…+a（n，p）=f（n，p）．
（1）求證：{a（n，2）}是等差數列；
（2）求證：f（n，1）+f（n，2）+…+f（n，n）=22n-1+

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C_2nⁿ-1；
（3）設函數H（x）=f（n，1）x+f（n，2）x2+…+f（n，2n）x2n，試比較H（x）-H（a）與2n（1+a）2n-1（x-a）的大小．

Answer 1

分析：（1）由a（1，p）+a（2，p）+…+a（n，p）=f（n，p），令p=2，得a（1，2）+a（2，2）+…+a（n，2）=f（n，2），
a（1，2）+a（2，2）+…+a（n-1，2）=f（n-1，2）（n≥2，且n∈N*），由此能導出{a（n，2）}是等差數列．
（2）設f（n，1）+f（n，2）+…+f（n，n）=C_2n¹+C_2n²+…+C_2nⁿ=S，而C_2n⁰+C_2n¹+C_2n²+C_2n²ⁿ=22n，由此能夠證明：S=22n-1+

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C_2nⁿ-1．
（3）H（x）=f（n，1）x+f（n，2）x2+…+f（n，2n）x2n，=（1+x）2n-1，所以H（x）-H（a）=（1+x）2n-（1+a）2n．
為了比較H（x）-H（a）與2n（1+a）2n-1（x-a）的大小，即要判斷（1+x）2n-（1+a）2n-2n（1+a）2n-1（x-a）的符號．由此能夠比較H（x）-H（a）與2n（1+a）2n-1（x-a）的大小．

解答：解：（1）由a（1，p）+a（2，p）+…+a（n，p）=f（n，p），
令p=2，得
a（1，2）+a（2，2）+…+a（n，2）=f（n，2），
a（1，2）+a（2，2）+…+a（n-1，2）=f（n-1，2）（n≥2，且n∈N*），
兩式相減，得a（n，2）=C_2n²-C_2（n-1）²=4n-3，
且n=1時也成立．
所以a（n+1，2）-a（n，2）=4，
即{a（n，2）}是等差數列．            （5 分）
（2）設f（n，1）+f（n，2）+…+f（n，n）
=C_2n¹+C_2n²+…+C_2nⁿ=S，
而C_2n⁰+C_2n¹+C_2n²+C_2n²ⁿ=22n，
又C_2n^2n-1=C_2n¹，C_2n^2n-2=C_2n²，…，C_2nⁿ=C_2nⁿ，
所以2S+2C_2nⁿ=22n，
所以S=22n-1+

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C_2nⁿ-1．（10分）
（3）H（x）=f（n，1）x+f（n，2）x2+…+f（n，2n）x2n
=（1+x）2n-1，
所以H（x）-H（a）=（1+x）2n-（1+a）2n．
為了比較H（x）-H（a）與2n（1+a）2n-1（x-a）的大小，
即要判斷（1+x）2n-（1+a）2n-2n（1+a）2n-1（x-a）的符號．
設X=1+x，A=1+a，
則上式即為X2n-A2n-2nA2n-1（X-A），
設F（X）=X2n-A2n-2nA2n-1（X-A），
其導數為F′（X）=2nX2n-1-2nA2n-1=2n（X2n-1-A2n-1）．
當X≥A時，F′（X）≥0，
則F（X）是增函數，
所以F（X）≥F（A），
且當X=A時等號成立．
當X＜A時，F′（X）＜0，
則F（X）是減函數，
所以F（X）＞F（A）．
縱上所述，H（x）-H（a）≥2n（1+a）2n-1（x-a），
當且僅當x=a時等號成立．

點評：本題考查數列與函數的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．