Question

【題目】已知橢圓： ，與軸不重合的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)，且與橢圓相交于， 兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，直線與橢圓相交于， 兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若直線的斜率為1，求直線的斜率；

（Ⅱ）是否存在直線，使得成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ， .

【解析】試題分析: （Ⅰ）求出直線的方程,與橢圓聯(lián)立,解出中點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線的斜率. （Ⅱ）假設(shè)存在直線，使得成立．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不成立,斜率存在時(shí)聯(lián)立直線與橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理寫出弦長的表達(dá)式以及中點(diǎn)的坐標(biāo), 直線的方程聯(lián)立橢圓的方程，得點(diǎn)坐標(biāo)，則可求出,又，將坐標(biāo)代入解出,即可求出直線的方程.

試題解析:（Ⅰ）由已知可知，又直線的斜率為1，所以直線的方程為，

設(shè)， ，

由解得

所以中點(diǎn)，

于是直線的斜率為．

（Ⅱ）假設(shè)存在直線，使得成立．　

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， 的中點(diǎn)，

所以， ，矛盾；

故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，

得，

設(shè)， ，則， ，

于是，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

.

直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，得，

設(shè)，則，

由題知， ，

即，

化簡，得，故，

所以直線的方程為， .