Question

已知函數f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（Ⅰ） 求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ） 當a＞0時，求函數f（x）在[1，2]上最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數f（x）=lnx-ax（a∈R）的導數，令導數大于0求出函數的增區間，令導數小于0，求出函數的減區間
（Ⅱ）a＞0時，用導數研究函數f（x）在[1，2]上的單調性確定出最小值，借助（Ⅰ）的結論，由于參數的范圍對函數的單調性有影響，故對其分類討論，

解答：解：（Ⅰ）函數的定義域是（0，+∞）
∵f（x）=lnx-ax
∴f′（x）=

1

x

-a
當a≤0時，f′（x）＞0，函數在定義域上是增函數；
當a＞0時，令導數為0解得x=

1

a

，
當x＞

1

a

時，導數為負，函數在（

1

a

，+∞）上是減函數，
當x＜

1

a

時，導數為正，函數在（0，

1

a

）上是增函數
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論知
當[1，2]⊆[

1

a

，+∞）時，即a≥1時，函數函數f（x）在[1，2]上是減函數，故最小值為f（2）=ln2-2a
當[1，2]⊆（0，

1

a

]時，即0＜a＜

1

2

時，函數函數f（x）在[1，2]上是增函數，故最小值為f（1）=-a
當

1

a

∈[1，2]時，函數f（x）在[1，

1

a

]上是增函數，在[

1

a

，2]上是減函數，故最小值為min{f（1），f（2）}

點評：本題考查用導數研究函數的單調性，解題的鍵是理解并掌握函數的導數的符號與函數的單調性的關系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導數符號得出單調性，一類是由單調性得出導數的符號，本題屬于第一種類型．本題的第二小問是根據函數在閉區間上的最值，本題中由于參數的存在，導致導數的符號不定，故需要對參數的取值范圍進行討論，以確定函數在這個區間上的最值．