Question

【題目】（題文）已知函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．

(1)若函數f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1， F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）8（2）[－2,0].

【解析】

（1）根據函數f（x）最小值是f（﹣1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（2）+F（﹣2）的值；

（2）由于函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且a=1，c=0，所以f（x）=x2+bx，進而在滿足|f（x）|≤1在區間（0，1]恒成立時，求出即可．

(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，

解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.

∴F(x)＝

∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.

(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，

從而|f(x)|≤1在區間(0，1]上恒成立等價于－1≤x2＋bx≤1在區間(0，1]上恒成立，

即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立.

又－x的最小值為0，－－x的最大值為－2.

∴－2≤b≤0.

故b的取值范圍是[－2，0].