Question

【題目】如圖1所示，在梯形中，//，且，，分別延長兩腰交于點，點為線段上的一點，將沿折起到的位置，使，如圖2所示．

（1）求證：；

（2）若，，四棱錐的體積為，求四棱錐的表面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）先利用直角三角形和線線平行的性質(zhì)得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到線面垂直和線線垂直；（2）分析四棱錐的各面的形狀，利用相關(guān)面積公式進行求解．

詳解：（1）因為∠C＝90°，即AC⊥BC，且DE∥BC，

所以DE⊥AC，則DE⊥DC，DE⊥DA1，

又因為DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.

因為A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.

又因為A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，

又因為BE 平面BCDE，所以A1F⊥BE．

（2）由已知DE∥BC，且DE＝BC，得D，E分別為AC，AB的中點，

在Rt△ABC中，，則A1E＝EB＝5，A1D＝DC＝4，

則梯形BCDE的面積S1＝×(6＋3)×4＝18，

四棱錐A1—BCDE的體積為V＝×18×A1F＝12，即A1F＝2，

在Rt△A1DF中，，即F是CD的中點，

所以A1C＝A1D＝4，

因為DE∥BC，DE⊥平面A1DC，

所以BC⊥平面A1DC，所以BC⊥A1C，所以，

在等腰△A1BE中，底邊A1B上的高為，

所以四棱錐A1—BCDE的表面積為S＝S1＋＋＋＋

＝18＋×3×4＋×4×2＋×6×4＋×2×2＝36＋4＋2．